Ponti ad arco in mu­ra­tura

Nell’ambito della salvaguardia del patrimonio costruito, di primaria importanza è la concezione di un sistema di valutazione di tipo quantitativo che possa condurre a un’esaustiva conoscenza delle problematiche strutturali che interessano le opere d’arte stradali e ferroviarie, individuando di conseguenza le priorità di intervento su tali manufatti. Nell’ambito dei ponti in muratura, gli autori hanno proposto una nuova modalità di valutazione dei principali fenomeni di dissesto statico degli archi,¹ anche in termini di rilevanza nei riguardi di un potenziale collasso strutturale, al fine di garantirne sia la salvaguardia sia l’efficienza funzionale. Il corretto studio dei processi di fessurazione può in definitiva restituire una valutazione accurata ed efficace dell’intera vita utile dei ponti ad arco in muratura e più in generale di un gran numero di strutture storiche aventi importanza strategica nei sistemi infrastrutturali.

In particolare, si può affermare che l’analisi evolutiva del processo di fessurazione negli archi murari costituisce, ad oggi, forse l’unico strumento efficace di valutazione della capacità portante di tali strutture allo stato limite di esercizio. Va osservato infatti che le ben note analisi elastica e limite, per via delle semplici assunzioni su cui si fondano, difficilmente possono essere utilizzate per descrivere la risposta di un arco e prevederne il danneggiamento per livelli di carico inferiori rispetto a quello che ne determina il collasso strutturale.² Infatti, il processo di fessurazione, il quale considera l’innesco e la propagazione delle fratture nell’arco in muratura, avviene prima dell’instaurarsi delle condizioni prefigurate dall’analisi limite³ e dopo l’insorgere delle prime non linearità (limite elastico).

Pertanto, un metodo analitico basato sulla Meccanica della Frattura che consideri un regime elasto-softening per la muratura risulta particolarmente idoneo allo studio del comportamento strutturale dei ponti ad arco, poiché è capace di evidenziare come la curva delle pressioni dell’arco sia influenzata dalla formazione e propagazione delle fessure e il carico massimo ammissibile valutato mediante la Meccanica della Frattura sia maggiore di quello previsto dalla Teoria dell’Elasticità. Tale incremento in termini di capacità portante del ponte può essere definito come «beneficio per fessurazione» ed è analogo al «beneficio plastico» descritto dall’analisi limite.

Nel prosieguo, si illustreranno le principali caratteristiche dell’analisi evolutiva del processo di fessurazione negli archi murari e si descriverà lo studio delle transizioni tra i diversi tipi di comportamento statico (elastico, fessurato, limite) per il Ponte Mosca posto a scavalco del fiume Dora in Torino, bell’esempio di struttura monumentale ad arco ribassato risalente alla prima metà del XIX secolo.
Nella sua essenza, la forma strutturale dei ponti in muratura si è rivelata sorprendentemente costante in tutto il mondo civilizzato a partire dall’epoca romana, passando per l’Europa medievale, fino ad arrivare ai giorni nostri.⁴ È interessante notare come, per tutta la durata dell’impero romano, le più specifiche conoscenze in merito alla costruzione dei ponti furono strettamente connesse alla persona posta a capo dell’esercito, ovverosia il «pontifex maximus». Curiosamente, nel corso della storia, tale titolo onorifico è passato dall’imperatore romano al capo della Chiesa cattolica che viene così designato quale costruttore di ponti tra terra e cielo.

In epoche più recenti, in particolare nel corso del XIX e XX secolo, fu l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées di Parigi a tradurre in pratica i principi strutturali alla base della forma dei ponti ad arco in muratura utilizzando il concetto fondamentale di curva delle pressioni. La curva delle pressioni può essere definita come l’insieme delle rette d’azione delle successive forze risultanti agenti sulla struttura, le quali rappresentano le reazioni dei vincoli interni procedendo da un’estremità all’altra della struttura stessa.⁵ Se immaginiamo di costruire un arco che rappresenti esattamente la forma della curva delle pressioni, annulleremmo il momento flettente in ogni punto della struttura: tra una sezione e l’altra verrebbe quindi trasmessa solo una forza di compressione, in quanto la reazione interna sarebbe sempre tangenziale all’asse dell’arco. Tale situazione tende a verificarsi principalmente quando si utilizzano materiali da costruzione non resistenti a trazione, come nel caso dei ponti in muratura.

Nell’ambito della Teoria dell’Elasticità, si dimostra inoltre che la distribuzione delle tensioni all’interfaccia tra i conci di un arco in muratura è funzione della curva delle pressioni. Classicamente, poiché si suppone che la muratura non resista a trazione, la curva delle pressioni dovrà quindi trovarsi all’interno del nocciolo centrale d’inerzia della sezione trasversale dell’arco (il «terzo medio» per le sezioni rettangolari) per evitare l’inefficienza strutturale.⁶

D’altra parte, mediante l’analisi limite,⁷ le condizioni sopra descritte vengono ulteriormente semplificate dal fatto che la situazione limite, ovverosia quella immediatamente precedente al collasso, può essere rappresentata tramite una curva delle pressioni tangente ai bordi dell’arco, rimanendo ovunque interna allo spessore dell’arco stesso.

Risulterebbe comunque trascurabile, nell’ambito dell’analisi limite, la valutazione dello stato tensionale nei riguardi della rottura per schiacciamento del materiale strutturale. Inoltre, nella gran parte dei casi, risulterebbe altresì scongiurato il fenomeno di scorrimento mutuo fra i conci della struttura, data la scarsa probabilità che la curva delle pressioni fuoriesca dal cono d’attrito senza prima fuoriuscire dallo spessore dell’arco. Il collasso strutturale dell’arco è perciò legato all’insorgere di una serie di cerniere monolatere poste in maniera alternata all’intradosso e all’estradosso dell’arco secondo uno schema che è funzione della forma dello stesso e dei carichi agenti.

Nonostante la semplicità di tali considerazioni, va osservato che l’analisi limite difficilmente può essere utilizzata per descrivere la risposta strutturale dell’arco sul quale agiscano carichi di servizio, poiché gli stessi non sempre determinano l’insorgere della situazione limite. Si profila dunque l’esigenza di colmare una lacuna concettuale e di considerare l’intero processo di danneggiamento, cioè l’innesco e la propagazione delle fratture nell’arco murario, le quali si sviluppano dopo che il limite elastico del materiale è stato superato e prima della formazione del cinematismo di collasso, al fine di fornire una migliore previsione dell’effettivo comportamento strutturale dei ponti ad arco in muratura.

Come già anticipato, la muratura viene considerata come materiale puramente elastico con la possibilità di formazione ed estensione della fessura (materiale elasto-softening). Tale ipotesi è valida soltanto quando la struttura è sufficientemente grande così che i profili tensionali previsti dalla Meccanica della Frattura⁸ possano svilupparsi in vicinanza dell’apice della fessura. Come parametro di danneggiamento viene considerata la profondità normalizzata della fessura e come parametro di carico, il fattore di intensificazione degli sforzi, il quale rappresenta un fattore di amplificazione del campo tensionale quando i carichi sono simmetrici rispetto alla fessura (sforzo assiale e momento flettente, nel caso di una struttura ad arco). Di seguito si analizzerà nel dettaglio il processo di fessurazione relativo alla struttura ad arco in muratura di pietra del Ponte Mosca in Torino, al fine di individuare i carichi che determinano le transizioni tra le condizioni elastica, fessurata e limite.⁹ Il Ponte Mosca può essere considerato come la costruzione più ardita realizzata a Torino nella prima metà del XIX secolo. È interessante notare che essa è stata anche oggetto di studio da parte di Alberto Castigliano nel suo celebre trattato sulla Teoria dell’Elasticità¹⁰. La lunghezza totale del Ponte Mosca è di 129 m e la sua larghezza è di 13,7 m. La struttura principale, interamente realizzata in pietra da taglio, è costituita da un unico arco ribassato di 45 m di lunghezza, avente una monta di 5,5 m ed uno spessore in chiave di 1,5 m. L’impressionante rapporto di ribassamento della struttura ad arco in muratura di pietra risulta quindi essere 1/8. Il materiale strutturale utilizzato per la costruzione del ponte è la pietra di Malanaggio, uno gneiss grigio-verdastro con caratteristiche meccaniche simili a quelle del granito.¹¹

Lo scopo del confronto tra le tre analisi sopra menzionate è quello di ottenere i valori massimi in termini di carico accidentale − considerato uniformemente distribuito su tutto l’impalcato del ponte − e la posizione delle sezioni inefficaci secondo l’analisi elastica, delle sezioni fessurate secondo l’analisi evolutiva e delle cerniere monolatere secondo l’analisi limite. In fig. 4 sono riportati i risultati delle tre analisi.

L’analisi elastica del Ponte Mosca offre una curva delle pressioni esterna al terzo medio della sezione dell’arco in due punti della struttura, considerando la sola azione del peso proprio e dei carichi permanenti. Per tale livello di carico infatti, le sollecitazioni di trazione nella muratura si manifestano immediatamente alle imposte dell’arco. In fig. 4a, i cerchi rossi rappresentano i punti in cui la curva delle pressioni fuoriesce dal terzo medio della sezione dell’arco.

D’altra parte, l’analisi limite mostra che il carico accidentale massimo sopportabile dalla struttura ad arco è pari a 1190 kN/m. Tramite l’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali alla catena cinematica, vengono evidenziate le posizioni in cui agiscono le cerniere monolatere che innescano il meccanismo di collasso del ponte.

Applicando l’analisi evolutiva del processo di fessurazione, si nota invece come il carico accidentale raggiunga un valore massimo sopportabile dal ponte pari a 870 kN/m. Le posizioni delle sezioni fessurate vengono individuate mediante i dettami della Meccanica della Frattura, considerando i reali meccanismi di danneggiamento in un processo di carico gradualmente crescente. In particolare, per un carico accidentale pari a 5 kN/m, in corrispondenza delle imposte dell’arco si verificano due fratture di lunghezza 30 cm. Quindi, aumentando il carico accidentale a 20 kN/m, il processo di fessurazione alle imposte presenta una richiusura delle fessure pari a 4,5 cm, le quali rimangono stabili fino a quando la resistenza a compressione della muratura di pietra in quattro sezioni trasversali dell’arco  viene superata per un livello di carico accidentale pari a 870 kN/m. In definitiva, le posizioni delle cerniere monolatere che innescano il cinematismo di collasso così descritte differiscono da quelle individuate tramite l’analisi limite poiché si considera il reale processo di fessurazione nell’arco, il quale agisce modificando la rigidezza della struttura che man mano si danneggia, eventualmente ricentrando la stessa curva delle pressioni. Si noti infine che il beneficio per fessurazione relativo al Ponte Mosca calcolato tramite l’analisi evolutiva indica un consistente aumento della capacità portante dell’arco rispetto alla situazione delineata tramite l’analisi elastica.

Note

1. F. Accornero, G. Lacidogna, A. Carpinteri, Evolutionary fracture analysis of masonry arches: Effects of shallowness ratio and size scale, Comptes Rendus Mécanique, 2016, 344:623-630; F. Accornero, G. Lacidogna, A. Carpinteri, Medieval arch bridges in the Lanzo Valleys, Italy: Incremental structural analysis and fracturing benefit, «ASCE Journal of Bridge Engineering», 2018, 23(7):05018005; F. Accornero, G. Lacidogna, Safety assessment of masonry arch bridges considering the fracturing benefit, Applied Sciences, 2020, 10:3490; A. Carpinteri, An. Carpinteri, Softening and fracturing process in masonry arches, Proceedings of the 6th International Brick Masonry Conference, Roma 1982, 502-510; A. Carpinteri, G. Lacidogna, F. Accornero, Evolution of the fracturing process in masonry arches, «ASCE Journal of Structural Engineering», 2015, 141:04014132.
2. V.N. Moreira, J. Fernandes, J. C. Matos, D. V. Oliveira, Reliability-based assessment of existing masonry arch railway bridges, Construction and Building Materials, 2016, 115:544-554.
3. P. Block, M. J. De Jong, J. A. Ochsendorf, As hangs the flexible line: Equilibrium of masonry arches, «The Nexus Network Journal», 2006, 8:9-19; J. Heyman, The stone skeleton, «International Journal of Solids and Structures», 1966, 2:255-296; J. Page, Masonry Arch Bridges, TRL, HMSO, London 1993.
4. K.E. Kurrer, The History of the Theory of Structures. From Arch Analysis to Computational Mechanics, Ernst & Sohn, Berlin 2008.
5. A. Carpinteri, Scienza delle Costruzioni, Pitagora, Bologna 1992.
6. J. Page, cit.
7. J. Heyman, cit.
8. A. Carpinteri, cit.
9. G. Lacidogna, F. Accornero, Elastic, plastic, fracture analysis of masonry arches: A multi-span bridge case study, Curved and Layered Structures, 2018, 5:1-9.
10. A. Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications, Negro, Torino 1879.
11. L. Re, Ponti di Torino, Edizioni Centro Studi Piemontesi, Torino 2019.